Definisi Gelanggang (Rings Theory) dalam Matematika
Dalam posting kali ini saya akan membahas tentang salah satu materi pelajaran matematika khususnya Struktur Aljabar yaitu Gelanggang. Gelanggang dalam bahasa Inggris disebut Ring. Pembahasan tentang ring atau gelanggang ini tidak terlepas dari pembahasan tentang grup dan syarat-syarat yang memenuhi sebuah himpunan disebut grup.
Ring adalah suatu himpunan tak kosong yang memenuhi dua operasi biner terhadap penjumlahan dan perkalian. Tetapi perlu teman-teman ketahui bahwa gelanggang atau ring adalah sebuah teori matematika dimana sebuah grup memenuhi sifat-sifat tertentu dan memiliki kriteria tertentu untuk disebut atau dikatakan sebagai syarat-syarat menjadi gelanggang. Jadi gelanggang atau ring berisi grup dengan anggota yang terdefinisi dengan baik.
Menurut Wikipedia Bahasa Indonesia "Gelanggang (ring) adalah salah satu struktur aljabar, yang memiliki 2 (dua) operasi biner, yang biasanya disebut operasi "penjumlahan" dan "perkalian". Ini berbeda dengan grup yang hanya memiliki satu operasi biner". Berikut ini definisi dari gelanggang atau ring.
Definisi Gelanggang (Rings)
Misal R himpunan tak kosong dengan operasi penjumlahan (+) dan operasi perkalian (x) disebut gelanggang (ring) jika dan hanya jika :1. (R,+) grup abelian/grup komutatif
Himpunan R dengan operasi penjumlahan (R,+) dikatakan grup abelian atau grup komutatif jika memenuhi sifat:- Asosiatif: (a + b) + c = a + (b + c) untuk suatu a,b,c ∈ R.
- Memiliki Unsur Identitas: Untuk setiap a ∈ R terdapat e ∈ R sedemikian sehingga a + e = e + a = a.
- Setiap Elemen Memiliki Invers: Untuk setiap a ∈ R terdapat (-a) ∈ R sedemikian sehingga a + (-a) = (-a) + a = e.
- Komutatif: a + b = b + a untuk suatu a,b ∈ R.
2. (R,x) semigrup
Himpunan R dengan operasi perkalian (R,x) merupakan semigrup jika memenuhi sifat:- Tertutup: Untuk setiap a,b ∈ R, a x b ∈ R.
- Asosiatif: a (bc) = (ab) c untuk suatu a,b,c ∈ R.
3. (R,+,x) distributif
Himpunan R dengan operasi perkalian dan penjumlahan (R,+,x) memiliki sifat distributif jika:- Distributif Kanan: Untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku a (b + c) = ab + ac
- Distributif Kiri: Untuk setiap a,b,c ∈ R berlaku (a + b) c = ac + bc
Perlu kamu ketahui bahwa untuk mempermudah proses membaca lebih lanjut, penggunaan operasi perkalian simbolnya tidak dituliskan, jadi misalnya sebuah persamaan terdapat
ab
, maka artinya keduanya dikalikan menjadi a x b
.Jadi syarat agar suatu himpunan dikatakan gelanggang atau ring harus memenuhi sifat grup abelian terhadap penjumlahan, semigrup terhadap perkalian, serta distributif terhadap perkalian dan penjumalah. Untuk lebih jelasnya kamu bisa melihat gambar berikut ini.
Contoh himpunan yang merupakan gelanggang :
- Bilangan real
- Bilangan bulat
Definisi Gelanggang Komutatif (Abelian Rings)
Misal R gelanggang, R disebut gelanggang komutatif (abelian rings) jika dan hanya jika: untuk setiap a,b ∈ R maka berlaku ab = ba (operasi perkalian).Contoh himpunan yang merupakan gelanggan komutatif :
- Bilangan real
- Bilangan bulat
- Bilangan rasional
Gelanggang dengan Unsur Kesatuan
Gelanggang R disebut gelanggang dengan unsur kesatuan jika dan hanya jika: terdapat 1R ∈ R, sehingga untuk setiap a ∈ R berlaku a⋅1R = 1R⋅a = a.Contoh himpunan yang merupakan gelanggan dengan unsur kesatuan :
- Bilangan real
- Bilangan bulat
- Bilangan rasional
- Bilangan matriks 2x2 elemen real
Gelanggang Tanpa Pembagi Nol
Gelanggang R disebut gelanggang tanpa pembagi nol jika dan hanya jika untuk setiap a,b ∈ R dengan ab = 0R dimana 0R ∈ R, maka a = 0R atau b = 0R.Contoh himpunan yang merupakan gelanggan tanpa pembagi nol :
- Bilangan real
- Bilangan bulat
- Bilangan rasional
Integral Domain/Daerah Integral
Gelanggang R disebut integral domain atau daerah integral jika dan hanya jika gelanggang R merupakan gelanggang komutatif dengan unsur kesatuan dan tidak memuat pembagi nol.Contoh himpunan yang merupakan daerah integral :
- Bilangan real
- Bilangan bulat
- Bilangan rasional
Division Ring
Gelanggang R disebut "Division Ring" jika dan hanya jika gelanggang R merupakan gelanggang dengan unsur kesatuan dan setiap unsur tak-nol nya punya invers terhadap operasi perkalian.Contoh himpunan yang merupakan division ring :
- Bilangan real
- Bilangan bulat
- Bilangan rasional
Field/Lapangan
Gelanggang R disebut field atau lapangan jika dan hanya jika gelanggang R merupakan gelanggang komutatif dengan unsur kesatuan dan setiap unsur tak-nol nya punya invers terhadap perkalian.Contoh himpunan yang merupakan division ring :
- Bilangan real
- Bilangan rasional
Posting Komentar untuk "Definisi Gelanggang (Rings Theory) dalam Matematika"
Silakan sampaikan komentar kamu dengan mematuhi syarat dan ketentuan berikut:
Diperbolehkan menggunakan link, selama tidak mengarah pada situs yang mengandung perjudian, pornografi, dan konten ilegal lain. Tidak diperbolehkan promosi jualan, produk, jasa, dsb.
Tidak boleh menggunakan kata-kata yang kasar, tidak pantas, mengandung SARA, atau penghinaan. Diharapkan saling menghargai satu sama lain.
Setiap komentar segera diterbitkan setelah moderasi, pastikan komentar kamu sudah benar sebelum dipublikasikan dan backlink tidak akan dihilangkan oleh admin. Admin berhak menghapus komentar yang melanggar.
Blogwalking dan saling memberi salam diperbolehkan. Menerima pemasangan backlink dofollow, tautan ada di menu navigasi.
Gunakan <i rel="code">Text here</i> untuk komentar yang berisi kode singkat.
Gunakan <i rel="pre">Text here</i> untuk komentar yang berisi kode panjang.
Setiap komentar yang mengandung kode/sintaks dengan rel code/pre di atas, wajib di-parse terlebih dahulu pada menu Alat > Script Parse di menu navigasi di atas.
Kamu juga bisa memberikan komentar bergaya <b>cetak tebal</b> maupun <i>cetak miring</i>. Komentar dengan kode HTML selain cetak tebal/miring atau link tidak diperbolehkan untuk dipublikasikan.